[스토리텔링 수학 속으로] <24> 테셀레이션

<그림 1>

평면이나 공간을 같은 모양으로 겹쳐지는 부분이나 빈틈이 없게 채우는 것을 테셀레이션이라고 한다. 도형 움직이기, 평면도형의 내각을 공부하고 난 뒤 테셀레이션이 실생활에 활용되는 예를 찾아보면 어떤 원리가 숨어있는지 살펴볼 수 있다.

<그림1>은 테셀레이션을 이용한 판화화가로 유명한 에셔의 작품이다. 이 그림에서 같은 모양이 있는 부분을 서로 이어보면 정삼각형이 되는 것을 알 수 있다. 그러면 이 그림은 어떤 방법으로 만들었고, 어떤 도형의 성질을 이용했을까.

<그림2>는 정삼각형을 이용해 에셔가 작품을 만든 단계를 스케치해 본 것이다. ①정삼각형을 그린다. ②정삼각형의 가운데 점에서 각 변의 중점까지 선을 긋는다. ③나누어진 사각형의 한 변에 선을 그리고, 그 선을 정삼각형의 한 꼭짓점을 중심으로 회전이동하여 이웃한 변에 똑같이 그린다(서로 볼록함과 오목함이 반대가 된다). ④나누어진 사각형의 다른 변에 선을 그리고 정삼각형의 가운데 점을 중심으로 회전이동하여 이웃한 변에 똑같이 그린다(역시 볼록함과 오목함이 반대가 된다). ⑤완성된 모양을 회전이동하여 나누어진 다른 사각형에도 똑같은 모양을 그린다. ⑥처음에 그린 선을 모두 지우면 테셀레이션의 단위모양이 완성된다.

이 모양은 회전이동을 통해서 올록볼록함이 서로 반대가 되도록 했고, 정삼각형이 테셀레이션이 가능한 다각형이므로 만든 단위모양을 서로 겹치지 않도록 붙여서 테셀레이션을 완성할 수 있다.

테셀레이션에서 단위 모양을 만들기 위해서 그린 정삼각형과 같이 테셀레이션이 가능한 다각형은 정삼각형, 정사각형, 정육각형, 모든 삼각형과 모든 사각형 등이 있다. 이 도형들은 내각을 모아 360도를 만들 수 있는 도형들이다. 어떤 도형을 기본으로 삼을지에 따라, 또 회전이동을 이용할지 평행이동을 이용할지에 따라 다양한 테셀레이션을 만들 수 있다. 간단한 테셀레이션을 만들어 보고 보도블록, 테셀레이션 미술작품 등을 찾아 수학적 원리를 이야기해 보자.

천종현 소마사고력수학연구소장

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<그림 2>